等比数列求和公式推导普通年金终值计算公式

2020/07/26
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等比数列求和公式

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列 。这个常数叫做等比数列的公比,公式可以快速的计算出该数列的和。

定义

等比数列求和公式推导普通年金终值计算公式

公式

等比数列求和公式推导普通年金终值计算公式

用等比数列求和公式推导普通年金终值计算公式

解:设年金年利率为i,年支付一次、金额为a,不间断地支付n年,终值为Sn。

普通年金分为期首付/期末付,差异在起付时间。

(1)期首付。首次支付在0时刻,到n年末年复利计息本利和为a(1+i)^n,第二次支付在1时刻,期末累积n-1次,本利和a(1+i)^(n-1),…,第n次支付在n-1时刻,累积1次,本利和a(1+i)。

∴ 所付年金总额Sn=a(1+i)^n+a(1+i)^(n-1)+…+a(1+i)【按递增顺序】构成首项a(1+i)、公比(1+i)等比数列。

Sn两边同乘以(1+i)后相减,有(1+i)Sn-Sn=a(1+i)^(n+1)-a(1+i)。

∴ Sn=a[(1+i)^n-1]/d       d=i/(1+i)。

(2)期末付。首次支付在1时刻,到n年末年复利计息的本利和为a(1+i)^(n-1),第二次支付在2时刻,期末累积n-2次,本利和a(1+i)^(n-2),…,第n次支付在n时刻,本利和a。

∴所付年金总额仿照(1)的计算,得Sn=a[(1+i)^n-1]/i。供参考。

等比数列求和公式推导普通年金终值计算公式

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